伝送特性を求める方法
まず、下図のように無限に続く一対の伝送ケーブルを考えます。
勿論、無限に続くケーブルなど有るわけがありませんが、無限のケーブルだとすると上図のA点からみても、B点からみても（同じように無限のケーブルがつながっているのですから）同じ特定のインピーダンス（これをケーブルの特性インピーダンスといい、Zoで表す）に見えます。従って、ケーブルを途中で切って、その先にインピーダンスZoの付加をつけたとしても同じことになります。
これが、完全にインピーダンス整合のとれた状態で、完全にインピーダンス整合がとれていれば、無限長のケーブルと同じということです。
これからの議論は簡単のために、このようにインピーダンス整合がとれているものとして考えます。さて、この状態で左の端から角周波数ωの正弦波を入力したとします。そのとき、ケーブル上の任意の点x（左端からの距離がxでの電圧をv(x)、電流をi(x)とすると、ケーブルの単位距離当りのインダクタンス、静電容量、抵抗をそれぞれL,C,Rとしたとき、下図のようになります。
ここに、dxは微小距離で、Rdx,Ldx,Cdxはそれぞれdx長のケーブルの抵抗、インダクタンス、静電容量を集中定数回路に置き換えて考えたものです。（本当は、同軸ケーブルなら上図の通りですが、並行ケーブルの場合はRdxとLdxは２本の線に半分ずつ載っているわけですが、結局同じことになるので、ここでは上図で考えます。）
そうするとオームの法則とキルヒホフの法則を使った簡単な計算で、次の式が成り立つことが分かります。
(1),(2)式を変形して両辺をdxで割り、一般に関数f(x)に対して、
のdx→0の極限がf(x)の微分df(x)/dxであったことを使うと、(1),(2)式は
となります。
式(2)'からi(x)を求めて、(1)'式のi(x)に代入することにより、
が得られます。
ここで、d/dx=λ とおき
と考えて、(3)をλの二次方程式としてλについて解くと、
となります。(注)
入力は角周波数ωの正弦波ですから、v(x)は複素正弦波を用いて、
の関数形をしているはずで、
なし崩し的に
とおいてみると、
は(3)式の微分方程式を満たしていることが分かります。
さて、(4)式のλを
とおくと、
ですから、正弦波の振幅は x とともに exp(ax) で減衰し、位相は bx でずれていくことが分かります。
減衰量を dB で表せば
となり単位距離当り 20a/ln(10) (dB)ずつ減衰します。
以上により、ケーブルの単位長当りインダクタンスL、静電容量C、抵抗Rが与えられれば、その伝送特性（単位長当り減衰量と移相角）は
の実部 a と虚部 b を求めることにより、
単位長当り減衰量 = 20ax/ln(10)
単位長当り移相量 = b
で求められることが分かりました。
なお、複素数の積は極座標形式を用いると、
ですから、これを用いて
であることが分かります。従って、実際にsqrt((jwC(R+jwL))を求めるときは、
を極座標形式に変換してから、(7)式によりその平方根(極座標形式)を求めた後、再び直交座標に変換することで求められます。
ここまでで、伝送特性は求まりました。ついでですから、最初に出てきたケーブルの特性インピーダンス Zo を求めてしまいましょう。
大分戻りますが、(1)',(2)'の微分方程式の解がであることが分かったので、これを式(2)'の右辺のv(x)に代入して微分をとれば、
となります。インピーダンスは電圧と電流の比ですから、(8)式を変形して、さらにλをL,C,Rを用いた表現に展開すれば、
として求められます。これは複素インピーダンスですが、周波数が十分高い場合は(9)式右辺の√内の虚数部が０に近づくので、ほぼ実数になって
となります。
参考までに、上述の求め方を用いて、ANSI T1.413に載っているケーブルの特性表をもとに0.9mmφのペアケーブルの減衰特性と位相特性を求めた結果を添付のグラフと表に示します。
(注)
複素数の平方根も実数と同様にｚと-zの２つ有りますが、ここでは実部が正になるものをs√として表します。物理的には実部が負となるλが正解なので、ここではλ=-√としました。
また、L,C,R等の物理定数が全て正の数であるため、実際にはこの平方根は実部と虚部の符号が一致します。つまり、物理的に正しいλは実部も虚部も負の値になります。
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